А. Подчуфаров © (mos_jkh) wrote,
А. Подчуфаров ©
mos_jkh

Удвоение куба

Это решение не даёт ни малейшей возможности практического применения, что добавляет удовольствия.
Со времён древней Греции известны три геометрические задачи – трисекция угла, квадратура круга и удвоение куба, считающиеся неразрешимыми с помощью циркуля и линейки (основных инструментов древних геометров).
Для удвоения куба придуманы: мезолябия Эратосфена, цилиндры Архита, триады Менехма и др. (см. http://hijos.ru/2011/04/10/udvoenie-kuba/), это решение иное.
Возможно, кто-то находил его раньше, но я пришёл к нему самостоятельно и, пока не доказано обратное, считаю себя его автором.
По легенде, в ответ на просьбу избавить остров Деллос от чумы – оракул сказал «удвойте жертвенник» (который был кубической формы).
В формулировке оракула отсутствует ограничение – используя только циркуль и линейку, точнее было бы решать задачу, используя только средства, доступные древним грекам.
Почесав основное мыслительное место, можно сделать вывод, что самый простой способ решения задачи – прямое измерение объёма измерителем, отщепляющим по одной координате нужную величину (этого можно достичь специальной конструкцией измерителя объёма).
Заметим - объём куба можно узнать, поместив куб в жидкость и измерив объём вытесненной жидкости (Архимед применил этот способ при измерении объёма короны Гиерона). Такой способ измерения был известен древним грекам и его можно использовать при решении данной задачи.
Возьмём в качестве измерителя объёма (вытесненной кубом жидкости) перевёрнутую правильную пирамиду с квадратным основанием. Примем длину ребра основания за L, длину ребра, идущего к вершине – kL. k – единственный параметр, варьируя который, можно решить задачу (свести поиск кубического корня к построению нескольких квадратных корней).
Удвоим объём жидкости (получим объём искомого куба), и поместим его в установленную вертикально вершиной вниз пирамиду (без крышки – чтобы можно было её наполнять).
Выразим объём налитой в пирамиду жидкости через L, kL, и приравняем его к объёму искомого куба:

Видно, что L равно ребру искомого куба, если k - квадратный корень из 9+1/2. Эту длину можно получить как гипотенузу треугольника со сторонами

длину второго отрезка можно получить как половину диагонали квадрата со стороной L.
Изготовим пирамиду с квадратным основанием из 4-х треугольников с соотношением сторон, как указано выше, установим её вертикально вершиной вниз. Теперь, наполнив её водой, равной двум объёмам исходного куба - любое ребро основания даёт искомую длину ребра удвоенного куба - задача удвоения куба решена.
Для проверки вертикальности установки пирамиды можно измерить длину всех рёбер основания – при вертикальной установке длины рёбер должны быть равны.
Если нужно найти кубический корень из 3 - наливаем в измерительную пирамиду 3 объёма исходного куба.
Если найдёте ошибку в рассуждении – пожалуйста, сообщите.
Tags: удвоение куба
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments